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요, 피치, 롤은 서로에게 수직인 세 개의 단위 벡터라고 할 수 있습니다. 모델의 중심 점과 이 세개의 단위 벡터를 통해서 모델만의 좌표계를 만들 수 있습니다. 이것을 흔히 로컬 좌표계(local coordinate)라고 합니다.

모델의 로컬 좌표계의 세 축, 요\((Y_x, Y_y, Y_z)\), 피치\((P_x, P_y, P_z)\), 롤\((R_x, R_y, R_z)\)이 바로 모델의 방향을 나타낸다고 할 수 있습니다. 이 세단위 벡터들은 열벡터로 써서 다음과 같이 행렬로 나타낼 수 있습니다.

• 이 세 열벡터들이 단위 벡터이며, 서로에게 수직입니다. 따라서 위 행렬은 자련스럽게 회전 변환을 나타내는 행렬이 됩니다.
• 이 말은 회전과 방향은 엄연히 다른 의미이지만 그들을 표현하는 방식이 서로 같을 수 있다는 것입니다.

표현법에 따른 수식만을 가지고는 이것이 어떤 모델을 회전을 하려고 하는 것인지 아니면, 모델의 방향을 나타낸 것인지 알 수 없으므로, 때에 따라 분명히 해줘야 할 것입니다.

오일러의 회전 정리(Eulers rotation theorem)에 따르면, 임의의 한 회전 혹은 여러 회전의 조합은 결국 하나의 축과 그 축을 중심으로 얼마나 회전할지를 나타내는 각으로 표현할 수 있습니다. 이때 기준이 되는 축을 오일러 축(Euler axis)이라고 부르며 보통은 단위 벡터로 나타냅니다.

만약 벡터 \(v\)가 하나의 회전 혹은 여러 번의 회전을 거쳐 최종적으로 벡터\(v`\)가 되었다고 해보면, 이때 우리는 항상 \(v\)와 \(v`\)에 수직인 단위 벡터 \(\hat{k}\)를 두 벡터를 외적하고 그 결과를 정규화해서 구할 수 있습니다. 또한 \(v\)와 \(v`\)사이각 \(\theta\)는 두 벡터를 정규화해서 내적을 하고, 그 결과에 \(cos\)의 역함수, \(arccos\)함수를 적용하면 구할 수 있습니다.

축-각 방식으로 방향을 표현하면 오일러 각과 비슷하게 하나의 단위 벡터 \(\hat{k} = (k_x, k_y, k_z)\)와 회전각 \(\theta\), 총 4개의 성분만이 필요하므로 행렬에 비해 메모리를 적게 쓰는 장점이 있습니다.

이 방식의 기본적인 아이디어는 회전하려는 벡터를 회전축에 평행한 성분과 수직인 성분으로 쪼개고, 수직인 성분을 회전시킨 후 이를 다시 평행인 성분과 결합하는 것입니다. 이렇게 벡터 \(v`\)는 다음과 같이 구할 수 있습니다.

• d이 식을 처음 소개한 사람은 프랑스 수학자인 로드리게스(Benjamin Olinde Rodrigues)입니다. 그의 이름을 따서 로드리게스 회전 공식(Rodrigues rotation formula)라고 불립니다.

사원수는 4차원 복소수 공간(Complex Space)의 벡터로서 다음과 같이 나타냅니다.

사원수를 \(q = s + v\)형태로 쓰기도 하는데, 여기서 s는 q의 w성분에 해당하는 스칼라(Scalar)값이고, v는 q의 x, y, z 성분에 해당하는 벡터(Vector) 부분입니다.

사원수의 곱은 일반적인 분배법칙을 따르며 허수 성분인 i, j, k는 다음과 같은 특징을 갖습니다.

\(i^2 = j^2 = k^2 = -1\)
\(ij = -ij = k\)
\(jk = -kj = i\)
\(ki = -ik = j\)

Sample Rotations

추가적으로 각 원소가 어떤 의미를 가지는지 볼 수 있습니다.

Quaternion in blueprint

에서, 쿼터니언을 기본적으로 제공해 주지 않는 이유를 설명합니다… 중요한건 블루프린트에서 쿼터니언을 사용하고자 한다면, Rotation을 Vector로 변환 후 EulerVector로 부터 Quaterion을 만들 수 있다는 점 입니다.

축 A에 대한 각도 Θ 만큼의 회전을 사원수로 나타내면 다음과 같습니다.

q = cos(Θ/2) + A sin(Θ/2)

사원수를 회전행렬로 변환하면, 아래와 같습니다.

      | 1-2y^2-2z^2     2xy-2wz         2xz+2wy     0 |
R_q = | 2xy+2wz         1-2x^2-2z^2     2yz-2wx     0 |
      | 2xz-2wy         2yz+2wx         1-2x^2y^2   0 |
      | 0               0               0           1 |

Maths - AxisAngle to Quaternion

축과 각도로 부터 쿼터니언은 다음과 같이 구할 수 있습니다.

\(qx = ax * sin(angle/2)\)
\(qy = ay * sin(angle/2)\)
\(qz = az * sin(angle/2)\)
\(qw = cos(angle/2)\)

• 축은 길이가 1입니다. 따라서 길이를 구할 때, qx, qy, qz 성분이 \(sin(angle/2)^2 + cos(angle/2)^2 = 1\)가 되어 정규화된 쿼터니언이 나오게 됩니다.
• Angle이라고 표시되었지만, 실제 계산에서는 대부분 Radian을 사용합니다. Radian/2로 대신할 수 있습니다.

기존에 있는 회전에 새로운 회전을 더하고 싶다면 다음의 순서를 따라야 합니다. (새로운 회전)*(기존에 있는 회전)로 적용이 됩니다.

두 사원수가 다음과 같으면
\(q1 = w1 + x1i + y1j + z1k = s1 + v1\)
\(q2 = w2 + x2i + y2j + z2k = s2 + v2\)

사원수의 곱셉은 다음과 같습니다.
\(q1q2 = (w1w2 - x1x2 - y1y2 - z1z2)\)
\(+ (w1x2 + x1w2 + y1z2 - z1yy)i\)
\(+ (w1y2 - x1z2 + y1w2 + z1x2)j\)
\(+ (w1z2 + x1y2 - y1x2 + z1w2)k\)
\(= s1s2 - v1·v2 + s1v2 + s2V1 + v1×v2\)

• 사원수는 곱셉의 교환법칙이 성립하지 않습니다.
• 회전 행렬에서 새로운 회전이 앞에가야 하는 이유를 설명합니다.

사원수 q = s + v의 켤레사원수는 q\hat 라고 표기합니다. q\hat = s - v입니다. 사원수 q와 그의 켤레 q\hat의 곱은 q자신의 내적과 동일합니다. q 자신의 내적 q·q는 q의 크기의 제곱입니다. 즉,

q q\hat = q \hat q = q·q = ||q||^2 = q^2

0이 아닌 사원수 q의 역수 q-1는 다음과 같이 주어집니다.

q-1 = q \hat / q^2

그리고 다음과 같은 특징을 같습니다.

q q\hat = q \hat q = 1

물체의 애니메이션을 수행할 때, 보간을 통해 계산된 키프레임 사이의 중간 방향을 생성합니다.

가장 간단한 보간은 선형보간(linear interpolation)으로 두 개의 값을 점으로 생각하고 두 개의 점을 이어주는 직선의 방정식으로부터 값을 얻어내는 방법입니다.

두 사원수 q1, q2에 대해, 선형 보간된 사원수 q(t)는 다음과 같습니다. 보간 후에는 정규화를 해줘야 합니다.

q`(t) = (1-t)q_1 + tq^2
q(t) = q`(t) / ||q`(t)||

• q1 -> q2를 잇는 선을 따라 보간합니다.

이러한 선형 보간은 간단하고, 효과적이나 호를 일정한 비율로 추적하지 않는다는 문제가 있습니다. 이에 따라 구면 선형보간(sphericcal linear interpolation : slerp)가 나타났습니다.

q(t) = sinΘ (1-t) / sinΘ * q1 + sinΘ t / sinΘs * q^2

• 보간이란 처음과 끝의 값을 가지고 중간에 잇는 값을 계산해 내는 것입니다.

1. 두고자 하는 위치의 충돌정보를 구합니다.
2. 충돌하는 위치의 노말과 업 벡터가 일치하도록 만드는 회전을 만듭니다.
3. 회전을 적용하고, 물건을 배치합니다.

• 물건 즉 액터의 업벡터가 액터의 위쪽 방향을 가르키는 상황을 전제로 합니다.
• 외적은 둔각을 반영하지 못하니, 내적과 외적 둘다 해야합니다.