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행렬 안의 각 요소들은 보통 행과 열을 첨자로 해서 \(a_{row, column}\)이라고 표현합니다. 만약, 행과 열의 개수가 같다면 우리는 이를 정방 행렬(square matrix)이라고 말합니다. 또한, 모든 요소가 0인 행렬은 영 행렬(zero matrix)라고 합니다.

• Matrix는 라틴어로 자궁이라고 합니다. 실베스터는 행과 열을 가지고 행렬식을 산출한다는 점에 착안해서 지은 이름이라고 설명했습니다.

$$ M = (Matrix) = \begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} \\ a_{4,1} & a_{4,2} & a_{4,3} \end{bmatrix} $$

위키피디아 행렬에서 사칙연산등의 구체적인 내용을 볼 수 있습니다.

원래 행렬의 각 요소 들의 행과 열을 뒤바꿔서 나온 결과를 전치 행렬(transpose matrix)라 합니다.

• 즉, \(A\)가 \(m \times n\)행렬이라면 \(A^T\)는 \(n \times m\)이 됩니다. 각 요소들은 \(a^T_{i,j}=a_{j,i}\)가 됩니다.

행렬식(Determinant)는 행렬과는 아무런 상관없이 먼저 연구되었습니다. 행렬식은 애초에 연립 1차 방정식의 해의 존재 유무를 파악하기 위한 판별식 형태로 시작했지만, 나중에 행렬식만으로도 해를 직접 구할 수 있다는 것이 밝혀졌습니다.

수학 에서 행렬식은 정방 행렬의 항목에 대한 함수 인 스칼라 값 입니다. 행렬의 일부 속성과 행렬이 나타내는 선형 맵 을 특성화할 수 있습니다.

Determinant에 구체적으로 설명 되어 있습니다.

이 방정식에서 2×2 행렬 의 각 행렬식을 행렬 A의 소수 라고 합니다 . 이 절차는 라플라스 전개 로 알려진 n×n 행렬 의 행렬식에 대한 재귀 정의로 확장될 수 있습니다.

라플라스 전개의 내용을 참고할 수 있습니다.

선형 방정식계(system of linear equations) 혹은 선형계(linear system)에서 선형계를 푸는 다양한 방법중 가우스 소거법이 있습니다. 그리고 여기서 발전한 가우스-요르단 소거법(Gauss-Jordan Elimination)이 있습니다.

• 중요한 것은 가우스-요르단 소거법을 이용해서 역행렬을 구하는데 사용할 수 있습니다.

여인수들을 모두 모은 행렬과 L의 전치 행렬을 곱하면 항등행렬에 행렬식(deb(A))를 곱한 값이 나옵니다.

이떄 \(L^T\)를 A의 수반 행렬(adjugate matrix)이라고 하며 adj(A)라고 합니다.

\(A \times adj(A) = adj(A) \times A = deb(A) \cdot I\) \(A^{-1} = \frac{1}{deb(A)} \cdot adj(A)\)

이 식을 이용해 역행렬을 구할 수 있습니다.

• 게임 개발에 주로 쓰이는 3X3, 4X4 행렬의 경우 크레이머 공식을 이용하여 역행렬을 구하는 것이 더 빠르다고 합니다.